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图灵机到人工智慧,谁让电脑强大?是数学!

图灵机到人工智慧,谁让电脑强大?是数学!

人工智慧围棋程式 AlphaGo,压倒性击败棋王而轰动全世界,令人不禁疑问:机器可以思考吗?机器可以超越人类心灵吗?而着名的「图灵  测试」,就是对此问题的一种判定。

李国伟说,图灵测试就是「模仿游戏」。 1950 年图灵发表了 Computing machinery and intelligence 这篇文章,讨论「电脑会不会思考」,成为人工智慧的重要思想来源。由于「思考」本身很难定义,图灵诉诸可供判定的方法:一台电脑和一个人交谈,如果交谈的人始终分不清楚谁是电脑、谁是人,那这台电脑在行为上已经接近人的思考能力。

「图灵测试」是利用电脑模仿人类交谈的游戏,来判断机器是否像人一样有思考能力。

AlphaGo 击败棋王,可以说是通过图灵测试了吗?李国伟解释,虽然电脑很多能力的确比人强,不仅下围棋,计算数学的能力也早就超越人类,但是图灵测试是「漫无目标」的智能测验,包括各种「常识」。电脑在很多专业知识上都超越人脑,但是最弱的就是常识。至今,还没有一台机器真正通过涂林测试。

不过,如何训练机器拥有常识,是有方向可循。如同 AlphaGo,训练机器的方法,就是从一个「婴儿机器」开始,让它不断学习、演化。下棋的好方法保留下来,坏方法淘汰掉,机器就不断增强。

事实上,机器学习的方法,早在图灵 1950 年的文章中就已经提出。当时没有相应的硬体条件可以实际做出,直到现在,GPU, TPU 等硬体效能赶上软体运算的需求,开始表现出早期人们预期人工智慧能达到的事情。

在图灵的时代,有许多先进的工程师,甚至不相信电脑有可能帮人算帐。

图灵为何有先见之明?凭藉的就是他发展出的一套理论数学计算机模型──图灵机 。图灵机的故事说来话长,李国伟从 19 世纪的数学发展聊起。

从数学难题到资讯科学的开端

19 世纪末的数学家,发现一些数学的基础出了问题,例如「无穷」的概念定义不清。他们想从最简单的概念出发,就像欧几里得建立 公理、公设 一样,重新建立起一套数学的体系。他们想到,在  自然数 之前,更基础的是 and、or、not 之类的逻辑概念。

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and、or、not 的逻辑概念,也是电子电路、电脑程式码的基础。
图片重製│张语辰

试图找出算术的基础,数学家  弗雷格  呕心沥血写成大作,严谨定义什幺叫做「集合」。没想到,当时才二十几岁的  罗素  找到致命的矛盾:当我考虑把所有「自己不属于自己」的集合,放在一个集合 A 里,那幺那个集合 A 属于不属于自己?这就导出了着名的「罗素悖论」。

世界顶尖的数学家都跳进来解决集合论基础问题。若要解决,必须把「自己不属于自己」这种奇怪的东西,排除到数学王国之外。问题来了,数学王国的围墙怎幺盖?大数学家  希尔伯特  选择了一条安全的途径:假装我们每天讲的数学,都是以符号写成。他从「形式系统」出发,完全玩符号游戏。

但是,问题又来了。怎幺证明一个形式系统是一致的,没有矛盾?李国伟说,如果用机械化的方法,一步一步写出来所有系统里的定理,即使矛盾一直没有出现,这种方式还是无法说服人!希尔伯特试着寻找真正有效的证明。

没想到,在 1931 年,年轻数学家  哥德尔(Kurt Gödel) 证明了相反的结果:如果你的系统複杂到可以讲一点点的自然数理论,那就没有办法在你的系统里面,保证不出矛盾。希尔伯特的梦想是达不到的!

图灵机:理论数学的计算机模型

李国伟解释,所谓的图灵  机 ,其实不是一个真正的「机器」,而是「理论数学」的模型。

图灵为了叙述的容易,把理论描述成一张纸带,上面画了很多格子,还有一个读写头。读写头储存了有限个不同状态,若决定了现在的状态,再看底下格子的符号,就决定了下一步会变成什幺状态。

图灵澄清了「什幺是数学的机械化」这件事情。一般从小到大学过的函数,只要在整数值上,图灵机都可以计算。李国伟说明,因为这个表格是有限的,所以可用自然数来编码。自然数可以因数分解,一个非常大的数字,一层一层因数分解下来,等于肚子里头一层一层包含讯息。就像数字变成了一个机器!

延伸这个思维,图灵还提出一种「通用图灵机 」,可以把各种机器的程式都吃进来,模拟另一个机器计算的结果。这就是我们现在使用的电脑,同一套软体不论移到哪台电脑都能计算。

电脑时代的数学家

图灵一方面说电脑可以很强大,另一方面又指出机器的侷限。他证明,有个「停机问题」是任何计算机都无法判定,也就是「是否存在一个程式 P ,对于任意输入的程式 w ,能够判断 w 会在有限时间内结束、或者无穷迴圈。」以数学的角度来说,并没有一般的机械方式,可以处理这种判定。

图灵机到人工智慧,谁让电脑强大?是数学!

李国伟笑着说:「数学证明不可能全部由一部电脑产生出来。不然所有工作搞一个电脑跑光,我们就不用做数学了!」

话又说回来,电脑还是有强大的功能,协助数学研究。 1976 年,电脑辅助证明了经典难题「四色定理」;至今,电脑甚至已经能够自动证明数学定理,只差在还无法主动发明有深度而令数学家感兴趣的定理,让数学家还能保住饭碗。电脑也促成了很多新的数学研究主题,李国伟的研究领域「组合数学」,随着计算机的发展更加兴盛。

组合数学研究的对象是离散的、有限数目的问题。李国伟说,他的师长辈的老派数学家,由于没有受过计算机的洗礼,认为他们研究组合数学,就好像研究高中的排列组合一样,没什幺意思。他们没想到,当「有限」的数目够大,可能比探讨「无限」的问题更困难。

李国伟说明,组合数学的问题,在网际网路的时代更有趣。人们使用网际网路,假如全世界有几十亿个节点,我跟你通讯就代表两个点连上一个边,边的数目就是更庞大的数字,状况非常複杂。使用算术处理庞大的离散数据,这类问题成为计算机科学里面「演算法」的学问。

在有限的範围内一定存在答案,但是实际求解的时候,希望找到最有效率、最节省资源的解,这就是数学的组合优化。

若下回有小朋友问你「学数学有什幺用」,别忘了指着电脑或手机 App 说:「这里面,就是数学。」


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